Дискриминант

Дискриминант (латынша – бөлуші, ажыратушы) – ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ – екі дәрежелі үш мүшенің дискриминанты ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ болса, x2+px+q үш мүшенің дискриминанты (p/2)2 – q – ға тең. X3+px+q – үш мүшенің дискриминанты. D=-4P3-27Q2. Үш мүшенің нақты түбірлерінің саны дискриминантын таңбасына тәуелді анықталады.”Дискриминант” ғылыми атауын ағылшын математигі Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) енгізген.

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$ көпмүшесінің Дискримина́нты

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$ өргнегінің туындысы, бұл жерде ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ — барлық түбірлер.

Негізгі қасиеттері

• Дискриминант түбірлері еселік болған жайғдайда ғана нөлге тең болады.
• Дискриминант көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше болып табылады.
• ${\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')}$, мұнда ${\displaystyle R(p,p')}$ — ${\displaystyle p(x)}$ көпмүшесінің және оның ${\displaystyle p'(x)}$ туындысының нәтижесі.
  • сонымен қатар, көпмүше дискриминанты

${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

көпмүшесінің дискриминанты келесі ${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}$-матрицасының анықтауышына тең:

1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	.	0
0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	0
0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	.	0
0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	0
0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0
0	0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$

Мысалдар

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ квадраттық үшмүшелігінің дискриминанты ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ тең. Егер ${\displaystyle D>0}$ болса, теңдеудің екі түбірі болады. Ол түбірлерді

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};}$       (1)

формуласымен есептейді.

• ал ${\displaystyle D=0}$ болған жағдайда, теңдеудің жалғыз түбірі болады және ол

  ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}};}$

формуласымен есептеледі.

• егер ${\displaystyle D<0}$ болса, теңдеудің шешімі болмайды. (1) формуламен немесе

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}.}$

формуласымен өрнектелетін екі кешенді түбір бар.

• ${\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ көпмүшесінің дискриминанты

${\displaystyle -4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}$ тең.

• Сонымен қатар ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ көпмүшесінің (түберлері Кардано формуласымен есептелетін) дискриминанты ${\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}$ тең.