Гильберт мәселесі

Гилберттің мәселелері — 1900 жылы Париждегі II Халықаралық математиктер конгресінде ұсынған математиканың 23 негізгі мәселесінің тізбегі. Ол кезде бұл мәселелелердің (математика, алгебра, сандар теориясы, геометрия, топология, алгебралық геометрия, Ли топтары, нақты және кешенді талдау, дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика және ықтималдықтар теориясы, сондай-ақ вариация есептеуі) негіздері шешілген жоқ. Қазіргі таңда 23 меселесінің 16 мәселесі шешілген, тағы екеуі дұрыс емес математикалық есептер (олардың біреуі толық тұжырымдалмағандықтан оның нақты шығарылды ма, жоқ па екені айтылмайды, екіншісі , шешімнен алыс - физикалық, математикалық емес). Қалған бес мәселенің екеуі шешілмеген, ал үшеуі тек кейбір жағдайлар үшін ғана шешіледі. Гильберт тізімін жариялағаннан кейін жүз жыл өткен соң американдық математик Стивен Смейл қазіргі шешілмеген проблемалардың жаңа тізімін ұсынды (олардың кейбіреулері қазір шешілген). Оның тізімі Клэй атындағы математикалық институтта жарияланды.

Мәселелер тізімі

№	Күйі	Қысқаша тұжырым	Нәтижесі	Шығарылған жылы
1	Шешілген	Кантордың континуум күші туралы мәселесі (Континуум-гипотеза)	Цермел — Френкелдің жүйесінің аксиомасында шешілмейтіні дәлелденген. Бұл мәселенің толық шешімі болып табылатыны туралы жалпы пікір жоқ.	1940, 1963
2	консенсусы жоқ	Арифметиканың аксиомаларының сәйкестігі.	Тұжырымдаманы түсіндіруді талап етеді
3	Шешілген	Тең өлшемді көпжақтардың тең құралғандығы	Қарама-қайшы	1900
4	Белгісіз жағдайлары көп	Түзулердің геодезиялық түрде болудың көрсеткішінің тізімін құру	Тұжырымдаманы түсіндіруді талап етеді
5	Шешілген	Барлық үздіксіз топтар Ли тобы бола ма?	Иә	1953
6	Толық шешілмеген	Физика аксиомаларын математикалық зерттеу	Түпнұсқалық ақпараттарды түсіндіруге байланысты
7	Шешілген	саны трансценденталь (немесе иррационалды ) бола ма?	Иа	1934
8	Толық шешілмеген	Жай сандардың мәселесі (Римманның гипотезасы және Голдбах мәселесі)	Гольдбахтың үш өлшемді гипотезасы дәлелденді
9	Толық шешілмеген	Кез-келген сандар өрісіндегі жалпы өзара заңның орындалуын дәлелдеу	Абелев жағдайы үшін дәлелденген
10	Шешілген	Диофант теңдеулерін шешудің әмбебап алгоритмі бар ма?	Жоқ	1970
11	Толық шешілмеген	Еркін алгебралық сан коэффициенттері бар шаршы нысандарды зерттеу
12	Шешілмеген	Кронекер теоремасының Абелий өрістеріндегі ұтымдылықтың еркін алгебралық доменіне кеңейтілуінде таралуы
13	Шешілген	Жетінші дәрежедегі жалпы теңдеуді тек екі айнымалыға байланысты функциялар көмегімен шешу мүмкін бе?	Иә	1957
14	Шешілген	Сызықтық алгебралық топтың инварианттар алгебрасының соңғы буынын дәлелдеу	Қарама-қайшы	1959
15	Толық шешілмеген	Шуберт есептеу геометриясына қатаң негіздеме
16	Толық шешілмеген	Алгебралық қисықтар мен беттердің топологиясы
17	Шешілген	Кейбір пішіндер квадраттардың сомалары ретінде көрсетіле ме	Иә	1927
18	Шешілген	Кристаллографиялық топтардың саны сенімді ме? а) • Конгруентті көпжақтардың кеңістіктегі дұрыс емес толтырулары бар ма? а) • Алтыбұрышты және кубтық бет-орталыққа орнатылған шардың жинақтары ең тығыз ба? б)	·         Иә ·         Иә ·         Иә	1928 (a) 1998 (б)
19	Шешілген	Тұрақты Лагранж вариационды проблемасының шешімдері әрдайым аналитикалық бола ма?	Иә	1957
20	Шешілген	Белгілі шекаралық шарттармен барлық вариациялық проблемалар шешімдерге ие ме?	Иә
21	Шешілген	Берілген монодромды топпен сызықты дифференциалдық теңдеулердің болуын дәлелдеу	Олардың бар-жоқтығы мәселенің нақты тұжырымдамасына байланысты	1992
22	Толық шешілмеген	Автоморфтық функцияларды пайдалана отырып, аналитикалық тәуелділіктерді біріздендіру
23	Белгісіз жағдайлары көп	Вариационды есептеу әдістерін өңдеу	Тұжырымдаманы түсіндіруді талап етеді

24-ші мәселе

Бастапқыда тізімде 24 мәселе болған, бірақ баяндамаға дайындық барысында Гильберт олардың біреуін қабылдамады. Бұл проблема қарапайым және жалпы әдістер критерийлерінің дәлелдер теориясымен байланысты болды. Бұл проблеманы 2000 жылы Германияның тарихшысы Рюдигер Тиле Гильберттің жазбаларынан тапты.

Әдебиеттер

• Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М. : Наука, 1966. — № 17. — С. 91—122.
• Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М. : Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84—99.
• Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семёнов В. В. Двадцатая проблема Гильберта : Обобщённые решения операторных уравнений. — М. : Диалектика, 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5.
• Проблемы Гильберта : сб. / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с.