Кардано формуласы

Кардано формуласы –

${\displaystyle y^{3}+py+q=0\,}$

түріндегі кубтық теңдеудің түбірлерін комплекс сандар өрісінде табуға арналған формула. Оның өрнектелуі мынадай: Кардано формуласындағы куб түбірлердің мәндерін, олардың көбейтіндісі –p/3-ге тең болатындай етіп алу керек. Ал теңдеудің түбірлерін табу үшін осы мәндерді қосу қажет. Осы жолмен теңдеудің үш түбірі табылады. Кардано формуласы италиялық математик, философ әрі дәрігер (1501 – 1576) есімімен аталған. Ол оны алғаш рет 1545 жылы жариялаған. Жалпы тұрдегі кез келген кубтық теңдеу

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$

жоғарыда көрсетілген келтірілген түрде кожффициенттері ${\displaystyle p}$ мен ${\displaystyle q}$ болатындай жазыла алады:

${\displaystyle p=-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}+{\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}}$

керекті мына түрдегі ${\displaystyle \,x=y-\alpha }$ айнымалы ауыстыруымен.

Соңғы үшеуін кубтық теңдеуге қойып мынаны табамыз:

${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}$

Формуласы

Q деп:

${\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.}$ белгілейік

Егер кубтық теңдеудің барлық коэффициенттері нақты болса, онда Q да нақты сан болады, ал оның таңбасымен түбірлерінің түрлерін білуге болады:

• Q > 0 — бір нақты түбір және екі түйіндес түбірлер.
• Q = 0 — бір еселік түбір және екі еселік түбірлер, немесе, егер p = q = 0, онда бір үш еселік нақты түбір.
• Q < 0 — үш нақты түбір. Бұл «келтірілмейтін» жағдай, дәл осы жағдайды зерттеу кезінде алғашқы рет комплекс сан ұғымы пайда болды.

Кардано формуласы бойынша, кубтық теңдеудің түбірлері келтірілген түрінде:

${\displaystyle ~y_{1}=\alpha +\beta ,}$

${\displaystyle y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},}$

мұндағы

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},}$

${\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},}$

${\displaystyle y^{3}+py+q}$ көпмүшеліктің дискриминанты бұл жағдайда - ${\displaystyle \Delta =-108Q}$.

Осы формулаларды пайдалана, ${\displaystyle \alpha }$-ның әр үш мәні үшін ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$ шарты орындалатындай ${\displaystyle \beta }$ (бұндай ${\displaystyle \beta }$ мәні әрқашан болады).

Егер кубтық теңдеу нақты болса, онда мүмкіндігінше нақты ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ алған дұрыс.

Дереккөздер:

1. «Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9, IV том