Математикалық логика

Математикалық логика немесе символикалық логика — логикалық қорытындыларды қатаң символикалық тілдің негізіндегі логикалық есептеулер арқылы зерттейтін логиканың тармағы.

Термин ретінде алғаш 1880 жылы Дж.Венн қолданған. Аристотельдің өзі өзгергіштерді әріптермен белгілеген. Бүкіл математика үшін әмбебап тіл жасау, сөйтіп, матем. дәлелдерді, тіпті кез келген пайымдауларды формалдау идеясын 17 ғасырда Лейбниц ұсынды. Бірақ 19 ғасырдың ортасында аристотельдік силлогистика сол кездегі ғылым дамуының сұраныстарына жауап бере алмайтыны белгілі болды. Бір жағынан, абстрактілі алгебраның жетістіктері алгебр. әдістерді ғылымның басқа салаларына көшіруге мүмкіндік берді. Бұны А. де Морган (1806 — 71), Е.Шредер сияқты математиктер өз зерттеулерінде қолданды. Екіншіден, Г.Фреге (1848 — 1925) және Ч.С. Пирс (1839 — 1914) 1879 және 1885 жылы логика алгебрасы тіліне предикаттарды, өзгергіштерді және кванторларды енгізді. Лейбництің идеясын іске асыруға тырысқан Фреге бірінші болып предикаттарды есептеуді кіргізді. Сонымен қатар, Фреге предикаттарды есептеу үшін қазіргі күні де қолданылып отырған “дәлелдеу” ұғымының анықтамасын берді.

Қазіргі символикалық логиканың негізін италиялық математик (1858 — 1932) жасады. Оның 1894 — 1908 жылы шыққан әйгілі “Formulaіre de mathematіques” шығармасы математиканың бүтіндей дамуына бағытталған. Пеаноның логик. жазуын А.Н. Уайтхед пен Б.Рассел “Prіncіpіa Mathematіca” (1910 — 1913) деп аталатын 3 томдық кітабында, содан кейін Д.Гильберт қолданды. Сонымен теріске шығару, & — конъюкция, V — дизъюнкция, / — импликация, / — жалпылық кванторы, / — өмір сүру кванторы сияқты логик. белгілері бар бүкіл әлемде пайдаланылатын символикалық тіл қолданысқа енді. Мұндай жасанды тілдің пайда болуы 19 ғасыр ғылымының қажеттілігінен туындады. 20 ғасырдың басында символикалық логика дамуының негізгі ынталандырушысы математиканың негіздемелері мәселесі болды. К.Вайерштрасс, Р.Дедекинд және Г.Кантор бүкіл классикалық математиканың фундаменті ретінде бүтін сандар арифметикасын қарастыруға болатынын көрсетті. Дедекинд және Пеано арифметиканы аксиомаландырды, ал Фреге натурал санға барлық тең қуатты жиынтықтардың жиынтығы деп анықтама берді. Сөйтіп барлық математика жиынтықтар теориясына сайды. Бірақ 1902 жылы математика әлемін Рассел тапқан Фрегенің “Арифметика негіздері” (qrundqesetze der Arіthmetіk) кітабының 1-томындағы парадокстың қарапайымдығы мен тереңдігі таң қалдырды. Жиынтықтар теориясының осы және басқа да қисынсыздықтарына жауап ретінде математика негіздерінде 4 бағыт пайда болды: логицизм (бүкіл математиканы ешқандай арнайы ұғымдарды, мысалы, сан немесе жиынтық ұғымдарын пайдаланбай-ақ таза логикадан дедукциялауға болады), интуиционизм (жаңа логика қажет), жиынтықтың — теор. платонизм (жиынтықтарды құрастыруға шек қою) және формализм (Гильберттің бағдарламасы). Қазіргі символикалық логика қызметінің аумақты өрісін рекурсия теориясы құрайды. Ал мұнда шығарылу мәселесі бірінші қатарда тұрғаны белгілі. Ондағы зерттеулер дәлелдеуді автоматик. іздеудің компьютерлік бағдарламаларын және алгоритдер теориясын жасауға әкелді. Сонымен қатар, қазіргі символикалық логикада модельдер теориясы маңызды орын алады. Ол жасанды тіл сөйлемдерінің синтаксистік қасиеттері мен олардың модельдерінің семантикалық қасиеттері арасындағы іргелі байланысты, модельдер мен теорияларды, модельдердің өзгеруін зерттейді.

Қазіргі логиканың дамуы “символикалық логика” терминінің “математикалық логика” терминінен әлдеқайда кең екенін көрсетіп отыр. “Математикалық логика” ретінде математиктер қолданатын пайымдаулар типтерін зерттеу түсініледі. Символикалық логиканың ерекше қасиеті рефлексивті ғылым болуында. Ол өзінің тәсілдері мен логикалық құралдарын өзінің құрылымын түсіну және талдау үшін пайдаланады деген сөз. Ең алдымен, бұл Гедельдің (1930) таза логиканың, яғни предикаттар логикасының қайшылықсыздығы және толықтығы туралы қол жеткізген нәтижелері. Ол көптеген теориялардың негізінде жатыр. Бірақ бұл логиканың құралдары арқылы тек арифметиканы немесе оның бөлігін ғана кіргізетін кез келген теория толық болмайтыны, яғни онда не дәлелдеуге, не жоққа шығаруға болмайтын тұжырым бар екендігі дәлелденді. Бұндай теорияларды олардың қайшылықсыздығын дәлелдеу үшін толықтыруға болмайды. Бұл рефлексияның нәтижесінде математиканың өзінің статусы туралы сұрақ туады: ол терең жасырылған қайшылықтарға негізделе ала ма? Онымен қоймай, 20 ғасырдың cоңында таза логиканың рефлексиясы тығырыққа тіреліп, логиканың өз статусы туралы логика не деген сұрақты тудырды. Қазір классикплық емес логикалардың әр түрлі кластарының континуумдары белгілі болды. Барлық осы логикалардың иерархиясы туралы, өзара қатынастары және классификациясын жасау (оны жасау мүмкін емес) туралы мәселелер туындауда. Негізінде классик. логика жатқан қазіргі компьютерлер қандай құдіретті болса да, ешқашан компьютерді жасаған адамның логикасына жете алмайды. Бұл мәселелер 21 ғасыр мәселелері болып отыр. 1936 жылы символикалық логиканың Халықаралық Ассоциациясы құрылды. Сол жылдан бастап логика бойынша ең әйгілі журнал “The Journal of Symbolіk Loqіs” шыға бастады.

Дереккөздер