Фибоначчи сандары

Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары

${\displaystyle F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\geqslant 2.}$

арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан.

Бине формуласы

формуласы ${\displaystyle F_{n}}$ мүшелерін nге қатысты функция ретінде өрнектейді:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}}$,

мұндағы ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — алтын қима. Сонымен қатар ${\displaystyle \varphi \,\!}$ мен ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi \,\!}$ сипаттауыш ${\displaystyle x^{2}-x-1=0\,\!}$ теңдеуінің түбірлері болып табылады.

Бине формуласы бойынша кез келген ${\displaystyle n\geqslant 0}$ үшін, ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\,}$ санына ең жақын бүтін сан болып табылады, яғни ${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }$. Жеке түрде, ${\displaystyle n\to \infty }$ болғанда ${\displaystyle F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ орындалады.

Бине формуласы :

${\displaystyle F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right)}$

Ал ${\displaystyle F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}}$ теңдігі кез келген комплекс сан z үшін орындалады.

Теңдіктер

• ${\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1}$

• ${\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}}$

• ${\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1}$

• ${\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}}$

• ${\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$

• ${\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}}$

• ${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}}$

• ${\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}}$

• ${\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}}$

Жалпы формулалар:

• ${\displaystyle F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}}$

• ${\displaystyle F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}}$

• ${\displaystyle F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}}$

• Фибоначчи сандары мәндері ретінде бірліктер жиынында өрнектеле алады: ${\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1)}$, сол дегеніміз

${\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}$, сонымен қатар ${\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}}$,

мұндағы матрицалар өлшемі ${\displaystyle n\times n}$, i — .

• Фибоначчи сандарын өрнектеуге болады:

${\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right)=(-i)^{n}T_{n}(-i),}$

${\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right)=T_{n}(3).}$