Векторлық көбейту

${\displaystyle \mathbf {a} }$ векторы мен ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторының ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ кеңістігіндегі векторлық көбейтіндісі деп келесі шарттарды қанағаттандарытын ${\displaystyle \mathbf {c} }$ векторын айтады:

• ${\displaystyle \mathbf {c} }$ векторының ұзындығы ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторларының ұзындықтарының және олардың арасындағы ${\displaystyle \varphi }$ бұрышының синусының көбейтіндісіне тең: ${\displaystyle \left|\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \varphi }$;
• ${\displaystyle \mathbf {c} }$ векторы әр ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторларына  ;
• ${\displaystyle \mathbf {c} }$ векторыны ${\displaystyle \mathbf {abc} }$ векторлар үштігі оң болатындай бағытталған;
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ кеңістігі үшін ${\displaystyle \mathbf {a,b,c} }$ векторлар үштігінің ассоциативтігі орындалу қажет.

Векторлық көбейтінді үшөлшемді кеңістікте.

Белгілеуі:

${\displaystyle \mathbf {c} =\left[\mathbf {a} \mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$

Векторлық көбейтіндіні алғаш рет 1846 жылы енгізген — .

Оң қол ережесімен векторлық көбейтінді бағытын анықтау

Қасиеттері

Геометриялық қасиеттері

1 сурет: Параллелограмм ауданы векторлық көбейдінді модуліне тең.

2 сурет: Параллелепипед көлемін есептеудегі векторлардың векторлық және скаляр көбейтінділері; пунктир сызықтар c векторының a × bвекторына және a-ның b × c векторына проекцияларын көрсетеді, алдымен скаляр көбейтінділерді есептейді.

• Екі нөлдік емес векторлардың коллинеарлығы үшін олардың векторлық көбейтіндісінің нөл болуы қажет және жеткілікті.
• Векторлық көбейтінді ${\displaystyle [\mathbf {ab} ]}$ модулі ортақ нүктеге келтірілген ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ (1 суретті қара) векторларымен тұрғызылған параллелограммның ${\displaystyle S}$ ауданына тең
• Егер${\displaystyle \mathbf {e} }$ — ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторларына ортогональ бірлік вектор болса, ал ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {e} }$ — оң үштік, ${\displaystyle S}$ — ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторларымен тұрғызылған параллелограмм болса, онда келесі формула орындалады:

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=S\,\mathbf {e} }$

• Егер ${\displaystyle \mathbf {c} }$ — кез келген вектор, ${\displaystyle \pi }$ — осы вектор жатқан кез келген жазықтық, ${\displaystyle \mathbf {e} }$ — осы жазықтықтағы бірлік вектор және бірлік вектор ${\displaystyle \mathbf {c} }$ векторына ортогональ, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ — ${\displaystyle \pi }$ жазықтығына ортогональ бірлік вектор және ${\displaystyle \mathbf {ecg} }$ үштік векторлары оң болса, онда ${\displaystyle \pi }$ жазықтығында жатқан кез келген ${\displaystyle \mathbf {a} }$ векторы үшін келесі өрнек орындалады

${\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]=\mathrm {Pr} _{\mathbf {e} }\,\mathbf {a} \left|\mathbf {c} \right|\mathbf {g} .}$

• Векторлық және скаляр көбейтінділерді пайдалан отырып a, b және c векторларымен тұрғызылған (бір нүктеге келтіріліп, 2 суретті қара) параллелепипед көлемін есептеуге болады . Бұндай үш вектор көбейтіндісін аралас деп атайды.

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$

Суретте көрсетілгендей көлем екі әдіспен есептеледі: геометриялық нәтижесі тіпті «скаляр» және «векторлық» көбейткіштерді орындарымен ауыстырғаннан да өзгермейді:

${\displaystyle V=\mathbf {a\times b\cdot c} =\mathbf {a\cdot b\times c} \ .}$

Алгебралық қасиеттері

Өрнектері	Сипаттамасы
${\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]=-\left[\mathbf {b} ,\mathbf {a} \right]}$	қасиеті
${\displaystyle \left[\left(\alpha \mathbf {a} \right),\;\mathbf {b} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\left(\alpha \mathbf {b} \right)\right]=\alpha \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right]}$	скалярға көбейтуге қатысты қасиеті
${\displaystyle \left[\left(\mathbf {a} +\mathbf {b} \right),\;\mathbf {c} \right]=\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} \right]+\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right]}$	қосу бойынша қасиеті
${\displaystyle \left[\left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} \right],\;\mathbf {c} \right]+\left[\left[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} \right],\;\mathbf {a} \right]+\left[\left[\mathbf {c} ,\mathbf {a} \right],\;\mathbf {b} \right]=0}$	тождество Якоби, выполняется в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и нарушается в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$
${\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;\mathbf {a} \right]=\mathbf {0} }$
${\displaystyle \left[\mathbf {a} ,\;[\mathbf {b} ,\;\mathbf {c} ]\right]~=~\mathbf {b} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} )}$	«БАЦ минус ЦАБ» формуласы,
${\displaystyle |[\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ]|^{2}+(\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} )^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}}$	кватерниондар нормасының ${\displaystyle |\mathbf {vw} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |}$ мультипликативтілік жекеше түрі
${\displaystyle ([\mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ],\,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\,[\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} ])}$	бұл өрнек мәнін ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ деп атайды, ${\displaystyle (a,\,b,\,c)}$ немесе ${\displaystyle \langle a,\,b,\,c\rangle }$ деп белгілейді

Декарттық координаттардағы өрнектелулері

Егер екі ${\displaystyle \mathbf {a} }$ және ${\displaystyle \mathbf {b} }$ векторлары өз тікбұрышты декарттық координаттарымен анықталған болса, дәлірек айтқанда —

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},\;a_{y},\;a_{z})}$

${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},\;b_{y},\;b_{z})}$

ал координаттар жүйесі оң болса, онда олардың векторлық көбейтіндісі былай өрнектеледі

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).}$

Формуланы жаттау үшін матрица анықтауышын пайдаланған жөн:

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

немесе

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$

мұндағы${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ — .

Егер координаттар жүйесі теріс болса, онда

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).}$

Жаттау үшін дәл солай:

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

немесе

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} ]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}$

Дереккөздер

1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System — 1994. — Б. 32. — ISBN 0486679101.