Больцман үлестірілуі

Больцман үлестіруі — молекулалары сыртқы потенциалдық өрісте классикалық механика зандары бойынша қозғалатын идеал газ бөлшектерінің импульс және координата бойынша үлестіруі. 1871 жылы аустриялық физик Людвиг Больцман таныстырған.

Үлестірілуді қорытып шығару

Жалпы .

Біркелкі өрістегі бөлшектерді қарастырайық. Осындай өрісте идеал газдың әр молекуласында толық энергия болады

${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z)}$, мұндағы

${\displaystyle \varepsilon _{kin}}$ — оның ілгерілеу қозғалысының кинетикалық энергиясы поступательного, ал ${\displaystyle ~u}$ — оның орналасуына байланысты сыртқы өрістегі потенциалдық энергиясы.

Осы энергия өрнегін идеал газ үшін Гиббс үлестірілуіне қояйық ${\displaystyle \left(\mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}\right)}$ (мұндағы ${\displaystyle ~\mathrm {d} w}$ — бөлшектің координаты ${\displaystyle ~q}$ және импульстары ${\displaystyle ~p}$, ${\displaystyle ~\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$ интервалында болатындай күйде болу ықтималдығы)

табатынымыз:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}$,

мұндағы күйлер интегралы мынаған тең:

${\displaystyle z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT}}\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}}$

интегралдау айнымалылардың барлық мүмкін мәндерімен есептеледі. Әрі қарай күйлер интегралын мына түрде жазуға болады:

${\displaystyle z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V}$,

сонда бірге келтірілген Гиббс үлестірілуі газ молекуласы үшін сыртқы өрісте былай болады:

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\qquad \qquad (1)}$.

Молекула белгілі бір көлем элементінде берілген импульсы болуын сипаттайтын осы қорытылған ықтималдықтар үлестірілімі Максвелл — Больцман үлестірілуі деп аталады.

Дереккөздер

1. Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Физика / Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д,, профессор Е. Арын – Павлодар: С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті, 2006. ISBN 9965-808-88-0