Квадрат функция

Квадраттық функция деп мына түрде беруге болатын функцияны айтады ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~}$, мұнда${\displaystyle a\neq 0~}$.

${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\!}$

Графигі

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}-bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!}$

Квадраттық функцияның графигі парабола деп аталады.

Жалпы түрде квадраттық функцияның теңдеуі мына түрде жазылады: ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$. Парабола төбесінің координаттары: ${\displaystyle (x_{0};y_{0}),x_{0}=-{\frac {b}{2a}},y_{0}{}=-{\frac {D}{4a}}~}$.

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}~}$ түзуі квадраттық функция графигінің симметрия осі деп аталады.

Егер a<0 болса парабола төмен тармақталған болады, a>0 болғанда — жоғары тармақталған.

Квадраттық функцияның қасиеттері

Квадраттық функцияның қасиеттері дискриминанттың мәніне байланысты болады. Дискриминант мына формула бойынша есептеледі ${\displaystyle D=b^{2}-4ac~}$

${\displaystyle a>0~}$ болғандағы квадраттық функцияның қасиеттері (Осы түспен ${\displaystyle a<0}$ болғандағы қасиеттері көрсетілген.):

Қасиеті	Дискриминант
	${\displaystyle D>0~}$	${\displaystyle D=0~}$	${\displaystyle D}$
Анықталу облысы	${\displaystyle D(f)=R~}$
a>0 болғандағы мәндер жиыны	${\displaystyle E(f)=[-{\frac {D}{4a}};+{\mathcal {1}})~}$
a<0 болғандағы мәндер жиыны	${\displaystyle E(f)=(-{\mathcal {1}};-{\frac {D}{4a}}]}$
Функцияның нөлдері	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}~}$	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}~}$	${\displaystyle \emptyset ~}$
Оң ( теріс) мәндер	${\displaystyle (-{\mathcal {1}};x_{1})\cup (x_{2};+{\mathcal {1}})~}$	${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}~}$ нүктелерден басқа барлық жерде	Барлық жерде
Теріс ( оң ) мәндер	${\displaystyle (x_{1};x_{2})~}$	Теріс ( оң ) мәндері жоқ
Кему (өсу) аралығы, егер а>0	${\displaystyle (-{\mathcal {1}};-{\frac {b}{2a}}]~}$
Өсу ( кему) аралығы, егер a>0	${\displaystyle [-{\frac {b}{2a}};+{\mathcal {1}})~}$
Ең кіші ( ең үлкен ) мәні	${\displaystyle f(x)_{min}=-{\frac {D}{4a}}~}$

Практикада кездесетін жерлері

• Еркін құлап жатқан дене биіктігінің уақытқа тәуелділігі.
• Фигура ауданының оның сызықтық өлшемдеріне тәуелділігі (мысалы, дөңгелек ауданының радиусқа тәуелділігі).

Жалпылау

Көп айнымалы жағдайына жалпылау екінші ретті беттер болып табылады. Ондай теңдеудің жалпы түрін мына түрде жазуға болады:
${\displaystyle f({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c}$
Бұл жерде: ${\displaystyle A}$ - квадрат түрдегі матрица, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ - тұрақты вектор, ${\displaystyle c}$ - константа. Бұл жағдайда да функцияның қасиеттері (бірінші ретті жағдайына ұқсас) теңдеудің негізгі коэфиценті ${\displaystyle A}$ матрицасымен анықталады.

Тағы қараңыз

• Квадрат теңдеулер
• Афиндік-квадраттық функция
• Математикалық функциялар тізімі

Сілтемелер

• Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 23 сәуірдің 2009 жылы.
• Квадраттық функцияның қасиеттері Мұрағатталған 9 қыркүйектің 2013 жылы.