Интегралдық теңдеулер

Интералдық теңдеулер - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.

Интегралдық теңдеулерді санаттау

Сызықтық Интегралдық теңдеулер

Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),}$

мұндағы ${\displaystyle \varphi (x)}$ — искомая функция, ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — белгілі функциялар, ${\displaystyle \lambda }$ — параметр. ${\displaystyle K(x,\;s)}$ функциясы Интегралдық теңдеудің ядросы болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

Фредгольм теңдеулері

Толық мақаласы:

2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері

Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).}$

Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: ${\displaystyle a\leqslant x,\;s\leqslant b}$, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: ${\displaystyle K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])}$, немесе келесі шарт орындалу керек:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .}$

Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер ${\displaystyle [a,\;b]}$ интервалында ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),}$

ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

теңдеулері

Толық мақаласы:

2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.}$

1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).}$

Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

${\displaystyle {\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}}$

Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

Сызықтық емес теңдеулер

Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

Урысон теңдеулері

Толық мақаласы:

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).}$

Тұрақты ${\displaystyle M}$ — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

Гаммерштейн теңдеулері

Толық мақаласы:

Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,}$

мұндағы ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — фредгольмдік ядро.

Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері

Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots }$

Вольтерра сызықтық емес теңдеулері

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,}$

мұндағы функция ${\displaystyle F(x,\;s,\;\varphi )}$ барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.

Дереккөздер